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Concept
Variété d'Einstein
Résumé
Les 'variétés d'Einstein' sont un concept de géométrie différentielle et de physique théorique, étroitement relié à l'équation d'Einstein de la relativité générale. Il s'agit de variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes dont la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique. Elles forment donc des solutions de l'équation d'Einstein dans le vide, avec une constante cosmologique non nécessairement nulle, mais sans se limiter au cadre de la géométrie lorentzienne utilisé en relativité générale, qui postule trois dimensions d'espace et une dimension de temps.
Sur une variété pseudo-riemannienne, on dispose notamment du tenseur métrique et du tenseur de courbure de Ricci , qui sont deux tenseurs de même type (2,0). La variété est dite d'Einstein lorsqu'il existe un rapport de proportionnalité constant entre ces deux tenseurs : en tout point de la variété, et pour tous vecteurs et de l'espace tangent en ce point,
La constante peut être exprimée en prenant la trace dans cette relation : la courbure scalaire est constante et vaut
(en notant la dimension de la variété).
En dimension 2 ou 3, la courbure de Ricci détermine totalement le tenseur de courbure et une variété est d'Einstein si et seulement si elle est à courbure constante. La famille des espaces à courbure constante est bien connue et l'étude des variétés d'Einstein n'a donc de pertinence que pour les dimensions 4 ou plus.
On peut trouver une autre définition, en apparence plus large, des variétés d'Einstein, où l'on ne demande pas que le coefficient de proportionnalité soit constant. Mais s'il existe une fonction telle qu'en tout point de la variété
on ait , une telle fonction est nécessairement constante. Il y a bien équivalence avec la définition.
Dans le cadre des variétés riemanniennes compactes de dimension au moins 3, les variétés d'Einstein peuvent également être introduites comme solutions d'un problème variationnel.
On définit la courbure scalaire totale d'une variété riemannienne compacte comme l'intégrale de la courbure scalaire , soit
(où désigne la mesure riemannienne issue de la métrique).
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