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Concept
Programme de Hamilton
Résumé
Le programme de Hamilton est un « plan d'attaque », proposé par Richard S. Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré.
Cet article tente de décrire les raisons d'être de ce programme sans entrer dans les détails.
Dans son article fondateur de 1982, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Richard S. Hamilton introduit le flot de Ricci nommé d'après le mathématicien Gregorio Ricci-Curbastro. Celui-ci est une équation aux dérivées partielles portant sur le tenseur métrique d'une variété riemannienne. On part d'une métrique , que l'on fait évoluer par :
où est la courbure de Ricci de la métrique.
On peut vérifier que les variétés à courbure constante, c'est-à-dire celles munies d'une métrique d'Einstein, sont des solitons ou des points fixes généralisés du flot : le flot de Ricci n'agit sur eux que par une dilatation.
On peut alors penser (et les premiers résultats d'Hamilton sur les variétés de dimension 3, ainsi que sur les courbes et surfaces confirment cette impression) que, de même que l'équation de la chaleur a tendance à homogénéiser une distribution de température, le flot de Ricci va « tendre » à homogénéiser la courbure de la variété.
Pour attaquer certains problèmes de topologie, Hamilton pense donc à prendre une variété, la munir d'une métrique riemannienne, laisser agir le flot et espérer récupérer une variété munie d'une métrique à courbure constante. Par exemple, si on part d'une variété simplement connexe, et qu'on récupère ainsi une variété simplement connexe de courbure constante strictement positive, on saura que la variété n'est autre que la sphère.
Nuançons ce propos : même dans la version la plus naïve de son programme, Richard Hamilton n'a jamais pensé obtenir facilement des résultats de topologie. On peut fort bien imaginer que le flot s'arrête en un temps fini, parce que la courbure de la variété explose, soit globalement, soit localement.
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