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Concept
Holonomie
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, l'holonomie d'une connexion sur une variété différentielle est une mesure de la façon dont le transport parallèle le long de boucles fermées modifie les informations géométriques transportées. Cette modification est une conséquence de la courbure de la connexion (ou plus généralement de sa "forme"). Pour des connexions plates, l'holonomie associée est un type de monodromie, et c'est dans ce cas une notion uniquement globale. Pour des connexions de courbure non nulle, l'holonomie a des aspects locaux et globaux non triviaux.
Toute connexion sur une variété donne naissance, grâce aux applications de transport parallèle, à une notion d'holonomie. Parmi les exemples importants, on trouve : l'holonomie de la connexion de Levi-Civita (appelée holonomie riemannienne), les holonomies des connexions des fibrés vectoriels, l'holonomie des , et l'holonomie des connexions des fibrés principaux. Dans chacun de ces cas, l'holonomie de la connexion peut s'identifier à un groupe de Lie, le groupe d'holonomie. L'holonomie d'une connexion est étroitement liée à sa courbure, par le théorème d'Ambrose-Singer.
Sur la figure ci-contre, on voit que le vecteur indiqué tourne de l'angle α lorsqu'on le déplace parallèlement le long du trajet ANBA. Dans ce déplacement, l'ensemble des vecteurs du plan tangent en A subit donc une rotation de α ; cette transformation (nécessairement une isométrie vectorielle) est ainsi associée au chemin fermé ANBA, qui est un lacet de la sphère. L'ensemble de toutes ces transformations (pour tous les lacets) forme un sous-groupe du groupe des isométries vectorielles du plan (il s'agit dans ce cas du groupe des rotations SO(2)), qu'on appelle le groupe d'holonomie de la sphère. Plus précisément, l'angle α associé ainsi à un lacet mesure (dans ce cas) la courbure de la surface qu'il délimite ; on le vérifie aisément pour un triangle sphérique, en remarquant qu'alors α est égal à la somme des angles du triangle moins π, ce qui, d'après la formule de Girard, est aussi égal à l'aire du triangle divisé par le carré du rayon de la sphère.
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