Courbe cubique

En mathématiques, une courbe cubique est une courbe algébrique plane définie par une équation du troisième degré en les coordonnées homogènes [X:Y:Z] du plan projectif ; ou bien c'est la version non homogène pour l'espace affine obtenue en faisant Z = 1 dans une telle équation. Ici F est une combinaison linéaire non nulle des monômes de degré trois X3, X2Y, ..., Z3 en X,Y et Z. Ceux-ci sont au nombre de dix ; donc les courbes cubiques forment un espace projectif de dimension 9, au-dessus de n'importe quel corps commutatif K donné. Chaque point P impose une seule condition linéaire sur F, si nous demandons à C de passer par P. Donc nous pouvons trouver une courbe cubique passant par n'importe quelle famille de neuf points donnée à l'avance. Si on cherche les cubiques qui passent par 8 points donnés, on obtient pour les coefficients de l'équation d'une telle cubique un système linéaire homogène de 8 équations à 10 inconnues, dont le rang est 8 au maximum. Si ces points sont « en position générale » (la géométrie algébrique est faite entre autres pour comprendre ce que cela veut dire) le rang est exactement 8. Si alors et sont les équations de deux d'entre elles, les autres sont de la forme Elles passent toutes par les points d'intersection de ces deux cubiques ; il y a 9 tels points d'après le théorème de Bézout. Nous venons de montrer que toutes les cubiques planes qui passent par 8 points « en position générale » passent par un neuvième point. Ce résultat sert notamment à prouver l'associativité de la loi de groupe définie sur les cubiques non singulières ; voir l'article « Courbe elliptique » : il est également lié à la résolution du paradoxe de Cramer. Une courbe cubique peut avoir un point singulier ; dans ce cas elle a une paramétrisation par une droite projective. Sinon une courbe cubique non singulière est connue pour avoir neuf points d'inflexion au-dessus d'un corps algébriquement clos tel que les nombres complexes.

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Singular point of an algebraic variety

In the mathematical field of algebraic geometry, a singular point of an algebraic variety V is a point P that is 'special' (so, singular), in the geometric sense that at this point the tangent space at the variety may not be regularly defined. In case of varieties defined over the reals, this notion generalizes the notion of local non-flatness. A point of an algebraic variety which is not singular is said to be regular. An algebraic variety which has no singular point is said to be non-singular or smooth.

Courbe cubique

Courbe plane

vignette|droite|Courbe hyperbolique. En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue : où est un intervalle de l'ensemble des nombres réels. L' d'une courbe est aussi appelée support de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression courbe pour indiquer le support d'une courbe. Une courbe sur un espace euclidien de dimension supérieure à 2 est dite plane si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.

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