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Concept
Groupe moyennable
Résumé
En mathématiques, un groupe moyennable (parfois appelé groupe amenable par calque de l'anglais) est un groupe topologique localement compact qu'on peut munir d'une opération de « moyenne » sur les fonctions bornées, invariante par les translations par les éléments du groupe. La définition initiale, donnée à partir d'une mesure (simplement additive) des sous-ensembles du groupe, fut proposée par John von Neumann en 1929 à la suite de son analyse du paradoxe de Banach-Tarski.
La propriété de moyennabilité possède un grand nombre de formulations équivalentes. En analyse fonctionnelle, elle peut être définie en termes de formes linéaires. De manière intuitive, dans ce cas, le support de la représentation régulière est l'espace entier des représentations irréductibles.
Dans le cas des groupes discrets, une définition plus simple existe : dans ce contexte, un groupe G est moyennable s'il est possible de définir la proportion de G qu'occupe n'importe lequel de ses sous-ensembles.
Soit G un groupe localement compact. Il possède (à une multiplication par une constante près) une unique mesure invariante par translation, la mesure de Haar. On s'intéresse à l'espace de Banach des fonctions mesurables essentiellement bornées pour cette mesure.
Définition 1.
Une forme linéaire est une moyenne si est positive – c'est-à-dire si presque partout implique – et de norme 1.
Définition 2.
Une moyenne est invariante à gauche (resp. invariante à droite) si pour tous les , avec (resp. ).
Définition 3.
Le groupe G est dit moyennable s'il admet une moyenne invariante à gauche (ou à droite).
Les conditions suivantes sont équivalentes à la moyennabilité pour un groupe localement compact à base dénombrable G :
Existence d'une moyenne invariante à gauche (ou à droite) L(G). C'est la définition initiale, elle dépend de l'axiome du choix.
Propriété de point fixe. Toute action du groupe par des transformations affines sur un sous-ensemble convexe et compact d'un espace localement convexe admet un point fixe.
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