Résumé
En logique mathématique, l'implication est l'un des connecteurs binaires du langage du calcul des propositions, généralement représenté par le symbole « ⇒ » et se lisant « ... implique ... », « ... seulement si ... » ou, de façon équivalente, « si ..., alors ... » comme dans la phrase « s'il pleut, alors il y a des nuages ». L'implication admet des interprétations différentes selon les différents systèmes logiques (logique classique, modale, intuitionniste, etc.). Étant un connecteur, qui produit une proposition à partir de deux autres, et qui est interprété par une opération sur les propositions ou sur les valeurs de vérités, l'implication n'est pas la déduction qui est une relation entre propositions. Les logiciens utilisent couramment pour l'implication la flèche simple « → », et encore parfois le symbole « ⊃ » introduit par Peano. La déduction logique ou l'affirmation d'un théorème peuvent être représentées par des symboles au sens proche mais non identique : « ∴ », « ⊢ » et « ⊨ ». L'implication logique est une opération binaire qui a donc deux arguments : l'argument de gauche est l’impliquant et l'argument de droite est l’impliqué. Classiquement, le connecteur d'implication est formalisé de deux façons, soit en fonction de valeurs de vérité, soit en termes de déduction. Dans le premier cas il s'agit de donner une valeur de vérité à toute proposition. En logique formelle, pour chaque connecteur la valeur de vérité du résultat dépend uniquement de celles des opérandes, c'est-à-dire que la valeur de vérité de ne dépend que de celles de p et q. Par exemple il n'est pas question de rendre compte d'un lien de causalité, qui indiquerait comment la vérité de q découle de celle de p. On définit donc l'implication en l'interprétant par une fonction de vérité. La logique classique, n'a que deux valeurs de vérité, le vrai et le faux. Elle peut prendre dans d'autres logiques des formes différentes mais analogues dans la démarche, comme la sémantique de Kripke qui permet d'interpréter les logiques modales et la logique intuitionniste (cette sémantique de la logique intuitionniste traduite en fonction de valeurs de vérité en aurait nécessairement une infinité).
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Relevance logic
Relevance logic, also called relevant logic, is a kind of non-classical logic requiring the antecedent and consequent of implications to be relevantly related. They may be viewed as a family of substructural or modal logics. It is generally, but not universally, called relevant logic by British and, especially, Australian logicians, and relevance logic by American logicians. Relevance logic aims to capture aspects of implication that are ignored by the "material implication" operator in classical truth-functional logic, namely the notion of relevance between antecedent and conditional of a true implication.
Conditionnels contrefactuels
Les conditionnels contrefactuels (counterfactual conditionals en anglais) sont des propositions utilisées pour exprimer une situation hypothétique dans le passé et de leur conséquences imaginaires. Cette construction grammaticale est utilisée pour spéculer sur des situations qui n'ont pas réellement eu lieu, mais qui auraient pu se produire si les circonstances avaient été différentes. Le conditionnel contrefactuel se présente généralement sous la forme « Si A était le cas, alors B serait le cas ».
Vérité creuse
En mathématiques et en logique, une est un énoncé conditionnel ou universel qui est vrai parce que l'antécédent ne peut être satisfait. Par exemple, l'énoncé « tous les téléphones portables dans la pièce sont éteints » est vrai lorsqu'aucun téléphone portable ne se trouve dans la pièce. Dans ce cas, l'énoncé « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés » est également vrai, tout comme la conjonction des deux : « tous les téléphones cellulaires dans la pièce sont allumés et éteints », qui serait autrement incohérente.
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