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Concept
Exponentielle d'une matrice
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie.
Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe.
Sauf indication contraire, X, Y désignent des matrices n × n complexes (à coefficients complexes).
L'exponentielle de la matrice nulle est la matrice identité : ;
Le déterminant de l'exponentielle d'une matrice est égal à l'exponentielle de sa trace : ;
si Y est une matrice inversible, alors ;
l'exponentielle de matrice vérifie la limite : ;
(formule de Trotter-Kato) ;
il existe un polynôme d'endomorphisme P (dépendant de X) tel que .
La transposée, la conjuguée et l'adjointe d'une matrice X sont notées , et .
L'exponentielle de la transposée d'une matrice est la transposée de l'exponentielle de la matrice : . Il s'ensuit que :
si X est symétrique (), alors e l'est aussi : ;
si X est antisymétrique () et réelle (à coefficients réels), alors e est orthogonale : .
L'exponentielle de la conjuguée d'une matrice est la conjuguée de l'exponentielle de la matrice : et donc, compte tenu de la propriété précédente :
L'exponentielle de l'adjointe d'une matrice est l'adjointe de l'exponentielle de la matrice : . Il s'ensuit que :
si X est hermitienne (), alors e l'est aussi : ;
si X est antihermitienne (), alors e est unitaire : .
Le commutateur de X et Y est noté [X , Y] (= XY -YX).
Si [X , Y] = 0 (les matrices commutent) alors .
Plus généralement, en supposant seulement que [X , Y] commute avec X et Y, (formule de Glauber).
Encore plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de , plus précisément d'un logarithme de e e, par une série ne faisant intervenir que X, Y et leurs commutateurs. Les premiers termes sont :
L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de e est donné par e.
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