Concept

Matrice d'une application linéaire

Résumé
En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Définition Soient : *E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ;
  • B = (e, … , e) une base de E, C une base de F ; *φ une application de E dans F. Alors : *l'application φ est linéaire si et seulement s'il existe une matrice A de M(K) telle quepour tout vecteur x de E, la colonne des coordonnées dans C de φ(x) soit le produit à gauche par A de la colonne de coordonnées de x dans B ; *une telle matrice A est alors unique : ses n colonnes sont les coordonnées dans C des n vecteurs
Cette matrice A est appelée la matrice de φ dans le couple de bases (B, C) et notée mat(φ), ou parfois M(φ). Plus formellement, mat(φ) est caractérisée par : \forall x\in E\quad
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