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Concept
Conditionnement (analyse numérique)
Résumé
En analyse numérique, une discipline des mathématiques, le conditionnement mesure la dépendance de la solution d'un problème numérique par rapport aux données du problème, ceci afin de contrôler la validité d'une solution calculée par rapport à ces données. En effet, les données d'un problème numérique dépendent en général de mesures expérimentales et sont donc entachées d'erreurs.
Il s'agit le plus souvent d'une quantité numérique.
De façon plus générale, on peut dire que le conditionnement associé à un problème est une mesure de la difficulté de calcul numérique du problème. Un problème dont le conditionnement est faible est dit bien conditionné, et un problème dont le conditionnement est élevé est dit mal conditionné.
Soit un problème . Soit aussi une variable perturbée , avec , où ε est la précision de la machine. Alors, la condition k du problème est le plus petit nombre tel que :
Le problème P est bien conditionné si k n'est pas très grand par rapport à . Sinon, ce problème P est mal conditionné.
Selon N. Higham, il semble que la notion de conditionnement ait été introduite par Alan Turing qui, par exemple, a défini le conditionnement d'une matrice carrée de taille n à partir de la norme de Frobenius par :
Le conditionnement d'une matrice inversible A relativement à une norme subordonnée, notée est défini par la formule:
Comme on suppose que la norme est subordonnée, le conditionnement est supérieur à 1 :
Notons que la matrice vide 0 × 0 est son propre inverse et que sa norme est nulle quelle que soit la norme retenue. Son conditionnement est donc 0 selon cette définition. Certains définissent cependant cond()0 × 0 = 1 car l'application linéaire nulle a une précision parfaite (donc un score de 1) et cette matrice vide est une identité, les matrices unités ayant toutes un conditionnement de 1.
Pour le système linéaire Ax = b, où les données sont la matrice A et le vecteur du second membre b, le conditionnement donne une borne de l'erreur relative commise sur la solution x lorsque les données A ou b sont perturbées.
Source officielle
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