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Concept
Structure d'incidence
Résumé
vignette| Exemples de structures d'incidence:
Exemple 1: Points et droites du plan euclidien
Exemple 2: Points et cercles
Exemple 3: Structure définie par une matrice d'incidence.
En mathématiques, une structure d'incidence est toute composition de deux types d'objets dans le plan euclidien : des points ou l'équivalent de points et des droites ou l'équivalent de droites et d'une seule relation possible entre ces types, les autres propriétés étant ignorées et la structure pouvant ainsi se représenter par une matrice. Cette réduction de la complexité est à l'origine de l'émergence du concept dans d'autres domaines sous des formes propres.
Les structures d'incidence sont le plus souvent considérées dans le contexte géométrique d'où elles sont abstraites, et donc généralisées, tels que les plans affines, projectifs ou de plan de Möbius, mais le concept est plus large et ne se limite pas aux propriétés géométriques. Même dans un environnement géométrique, les structures d'incidence ne se limitent pas aux seuls points et droites ; des objets de plus grande dimension (plans, solides, espaces de dimension , coniques, etc.) peuvent être vus sous cet angle. L'étude des structures finies est parfois appelée la géométrie finie.
Une structure d'incidence est un triplet ( ), où est un ensemble dont les éléments sont appelés points, est un ensemble distinct dont les éléments sont appelés droites et est la relation d'incidence . Les éléments de s'appellent des drapeaux. Si ( ) est dans alors on dit que le point « se trouve sur » la droite ou que la droite « passe par » le point . Une terminologie plus symétrique, qui reflète la nature symétrique de cette relation, est que « est incident à » ou que « est incident à » et utilise la notation synonyme de .
Fréquemment est une famille de sous-ensembles de auquel cas l'incidence est l'appartenance ( si et seulement si est élément de ). Les structures d'incidence de ce type sont appelées ensemblistes.
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