Paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires résulte de l'estimation probabiliste du nombre de personnes que l'on doit réunir pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Il se trouve que ce nombre est 23, ce qui choque un peu l'intuition. À partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à . Il s'agit d'un paradoxe non pas dans le sens de contradiction logique, mais dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à . Cette étude est due à Richard von Mises. Par souci de simplicité, l'article est rédigé en supposant que toutes les années sont non bissextiles. Prendre en compte le changerait peu les résultats, mais rendrait les calculs très délicats. Le problème des anniversaires revient à choisir un nombre n d'éléments dans un ensemble qui en comprend N, sans retrait ; c'est-à-dire sans retirer les éléments choisis, si bien que certains peuvent être identiques. Le paradoxe des anniversaires est bien un cas de ce type, car chacun a une date d'anniversaire plus ou moins aléatoire, et il n'y a pas a priori de raison autre que la probabilité pour que deux dates soient identiques ou différentes. Imaginez par exemple qu'au cours d'une soirée réunissant n personnes, des petits papiers, sur lesquels sont notés les nombres de 1 à N, soient placés dans une corbeille. Chacun à son tour tire un papier, lit le nombre qu'il porte, puis le replace dans la corbeille. Quelles sont les chances pour qu'au moins 2 nombres tirés soient identiques ? ou au contraire pour que tous soient différents ? Pour calculer la probabilité numérique, il est plus simple de compter les chances que tous les nombres soient différents. Le point-clé non évident qui induit notre intuition en erreur, concerne au contraire les chances que 2 nombres au moins soient identiques. Au bout du compte, les deux approches sont bien sûr équivalentes.