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Concept
Nombre constructible
Résumé
Un nombre constructible (sous-entendu à la règle et au compas) est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, est un nombre constructible, mais ni ni π ne le sont.
C'est effectivement en termes de longueurs que pensaient les mathématiciens grecs et ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon.
Du temps de la mathématique grecque, on distinguait les problèmes dont les solutions ne faisaient intervenir que des droites et des cercles dans le plan, de ceux faisant intervenir d'autres procédés (utilisation de courbes dites « mécaniques » telles la spirale d'Archimède ou les conchoïdes, utilisation de coniques pour les problèmes dits solides...). Cette distinction est à la source de problèmes célèbres comme la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube.
Les mathématiciens, jusqu'au , n'accordaient aucune réalité concrète aux nombres négatifs. Il est cependant commode d'appliquer la définition, non seulement à des longueurs, mais également à des coordonnées de points constructibles.
On donne ici une définition mathématique précise de la notion de point constructible (sous-entendu, à la règle et au compas).
Soit E un sous-ensemble du plan euclidien, qu'on assimile ici à R. On dit qu'un point P = (x, y) est constructible en une étape à partir de E si P est un point de E ou si P est dans l'intersection de deux objets distincts parmi :
l'ensemble des droites qui passent par deux éléments distincts de E ;
l'ensemble des cercles centrés en un point de E et dont le rayon est la distance de deux quelconques points de E.
On note C(E) l'ensemble des points constructibles en une étape à partir de E.
On peut remarquer que si E est fini, alors, C(E) l'est aussi.
Partant des mêmes données, on définit, naturellement et par récurrence, l'ensemble C(E) des points constructibles en n étapes à partir de E. Pour n = 1, c'est la construction précédente.
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Construction à la règle et au compas
Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle (non graduée) et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l'aide de ces deux instruments.
Corps commutatif
vignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
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