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Concept
Produit de convolution
Résumé
En mathématiques, le produit de convolution est un opérateur bilinéaire et un produit commutatif, généralement noté « ∗ », qui, à deux fonctions f et g sur un même domaine infini, fait correspondre une autre fonction « f ∗ g » sur ce domaine, qui en tout point de celui-ci est égale à l'intégrale sur l'entièreté du domaine (ou la somme si celui-ci est discret) d'une des deux fonctions autour de ce point, pondérée par l'autre fonction autour de l'origine — les deux fonctions étant parcourues en sens contraire l'une de l'autre (nécessaire pour garantir la commutativité).
vignette|upright=2.18|Convolution d'une fonction porte par elle-même.
Le produit de convolution généralise l'idée de moyenne glissante et est la représentation mathématique de la notion de filtre linéaire. Il s'applique aussi bien à des données temporelles (en traitement du signal par exemple) qu'à des données spatiales (en ). En statistique, on utilise une formule très voisine pour définir la corrélation croisée.
Le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g, est une autre fonction, qui se note généralement et qui est définie par :
Parfois l'opération ∗s'appelle loi de convolution et s'appelle la convolée.
Pour des suites (en remplaçant la mesure de Lebesgue par la mesure de comptage) :
Lorsqu'il s'agit de séries, on parle de produit de Cauchy (mais dans ce qui suit, nous n'utiliserons que la version « continue »).
On peut considérer cette formule comme une généralisation de l'idée de moyenne mobile.
Pour que cette définition ait un sens, il faut que f et g satisfassent certaines hypothèses ; par exemple, si ces deux fonctions sont intégrables au sens de Lebesgue (c'est-à-dire qu'elles sont mesurables et que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pour presque tout x et est lui-même intégrable. Plus généralement, si f ∈ L et g ∈ L et avec , alors f ∗ g ∈ L : cf. « Inégalité de Young pour la convolution ».
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