Distribution de Dirac

En mathématiques, plus précisément en analyse, la distribution de Dirac, aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur ℝ est égale à 1. La représentation graphique de la « fonction » δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ est égale à la dérivée (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside. Cette « fonction » δ de Dirac n'est pas une fonction mais c'est une mesure de Borel, donc une distribution. La fonction δ de Dirac est utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer la vitesse d'une

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Moments, Intermittency, and Growth Indices for Nonlinear Stochastic PDE's with Rough Initial Conditions

Le Chen

In this thesis, we study several stochastic partial differential equations (SPDE’s) in the spatial domain R, driven by multiplicative space-time white noise. We are interested in how rough and unbounded initial data affect the random field solution and the asymptotic properties of this solution. We first study the nonlinear stochastic heat equation. A central special case is the parabolic Anderson model. The initial condition is taken to be a measure on R, such as the Dirac delta function, but this measure may also have non-compact support and even be non-tempered (for instance with exponentially growing tails). Existence and uniqueness is proved without appealing to Gronwall’s lemma, by keeping tight control over moments in the Picard iteration scheme. Upper and lower bounds on all p-th moments (p ≥ 2) are obtained. These bounds become equalities for the parabolic Anderson model when p = 2. We determine the growth indices introduced by Conus and Khoshnevisan [19] and, despite the irregular initial conditions, we establish Hölder continuity of the solution for t > 0. In order to study a wider class of SPDE’s, we consider a more general problem, con- sisting in a stochastic integral equation of space-time convolution type. We give a set of assumptions which guarantee that the stochastic integral equation in question has a unique random field solution, with moment formulas and sample path continuity properties. As a first application, we show how certain properties of an extra potential term in the nonlinear stochastic heat equation influence the admissible initial data. As a second application, we investigate the nonlinear stochastic wave equation on R+ × R. All the properties obtained for the stochastic heat equation – moment formulas, growth indices, Hölder continuity, etc. – are also obtained for the stochastic wave equation.

EPFL2013

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Dirac Lie Groups, Dirac Homogeneous Spaces and the Theorem of Drinfeld

Madeleine Jotz

The notions of Poisson Lie group and Poisson homogeneous space are extended to the Dirac category. The theorem of Drinfeld on the one-to-one correspondence between Poisson homogeneous spaces of a Poisson Lie group and a special class of Lagrangian subalgebras of the Lie bialgebra associated to the Poisson Lie group is proved to hold in this more general setting.

2011

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The Hausdorff measure of the range and level sets of Gaussian random fields with sectorial local nondeterminism

Cheuk Yin Lee

We determine the exact Hausdorff measure functions for the range and level sets of a class of Gaussian random fields satisfying sectorial local nondeterminism and other assumptions. We also establish a Chung-type law of the iterated logarithm. The results can be applied to the Brownian sheet, fractional Brownian sheets whose Hurst indices are the same in all directions, and systems of linear stochastic wave equations in one spatial dimension driven by space-time white noise or colored noise.

INT STATISTICAL INST2022

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PHYS-423: Plasma I

Following an introduction of the main plasma properties, the fundamental concepts of the fluid and kinetic theory of plasmas are introduced. Applications concerning laboratory, space, and astrophysical plasmas are discussed throughout the course.

MICRO-310(b): Signals and systems I (for SV)

Présentation des concepts et des outils de base pour l'analyse et la caractérisation des signaux, la conception de systèmes de traitement et la modélisation linéaire de systèmes pour les étudiants en sciences de la vie. Application de ces techniques au traitement et à la transmission de signaux.

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Produit de convolution

En mathématiques, le produit de convolution est un opérateur bilinéaire et un produit commutatif, généralement noté « ∗ », qui, à deux fonctions f et g sur un même domaine i

Distribution (mathématiques)

En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de déri