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Concept
Distribution de Dirac
Résumé
En mathématiques, plus précisément en analyse, la distribution de Dirac, aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur R est égale à 1. La représentation graphique de la « fonction » δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ est égale à la dérivée (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside. Cette « fonction » δ de Dirac n'est pas une fonction mais c'est une mesure de Borel, donc une distribution.
La fonction δ de Dirac est utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer la vitesse d'une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant seulement toute l'impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d'exiger la connaissance des détails de la façon dont la raquette a transféré l'énergie à la balle.
Par extension, l'expression « un Dirac » (ou « un pic de Dirac ») est donc souvent utilisée par les physiciens pour désigner une fonction ou une courbe « piquée » en une valeur donnée.
thumb|right|upright=1.5|Représentation graphique formelle de la fonction de Dirac. La flèche signifie que toute la « masse » de la fonction est concentrée en 0 et vaut 1.
On se place dans R. La « fonction δ de Dirac » est la mesure borélienne de support le singleton {0} et de masse 1, c'est-à-dire la mesure de probabilité δ telle que δ({0}) = 1. Plus explicitement, pour tout borélien A de R :
Par abus de langage, on dit que la « fonction » δ de Dirac est nulle partout sauf en 0, où sa valeur infinie correspond à une « masse » de 1.
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