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Concept
Méthode des caractéristiques
Résumé
En mathématiques, la méthode des caractéristiques est une technique permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. Particulièrement adaptée aux problèmes de transport, elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides ou le transport de particules.
Dans certains cas particuliers, la méthode des caractéristiques peut permettre la résolution purement analytique de l'équation aux dérivées partielles. Dans les cas plus complexes (rencontrés par exemple en modélisation des systèmes physiques), la méthode des caractéristiques peut être utilisée comme une méthode de résolution numérique du problème.
Pour une équation aux dérivées partielles du premier ordre, la méthode des caractéristiques cherche des courbes (appelées « lignes caractéristiques », ou plus simplement « caractéristiques ») le long desquelles l'équation aux dérivées partielles se réduit à une simple équation différentielle ordinaire. La résolution de l'équation différentielle ordinaire le long d'une caractéristique permet de retrouver la solution du problème original.
On cherche une fonction :
solution du problème suivant :
dans laquelle c est une constante.
On cherche une ligne caractéristique le long de laquelle cette équation aux dérivées partielles du premier ordre se réduirait à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de le long d'une telle courbe :
En imposant et , on obtient :
La solution de l'équation reste donc constante le long de la ligne caractéristique.
Il vient ainsi trois équations différentielles ordinaires à résoudre :
en posant , on obtient :
en notant , on obtient :
Dans ce cas, les lignes caractéristiques sont donc des droites de pente c, le long desquelles la solution reste constante. La valeur de la solution en un point peut donc être retrouvée en cherchant la valeur de la condition initiale à l'origine de la ligne caractéristique :
Soit X une variété différentiable et P un opérateur différentiel linéaire de dans lui-même d'ordre k.
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