Quaternions de Hurwitz

Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz. Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions H(A) comme l'algèbre A[H] du groupe H des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre : 1 élément neutre pour la multiplication, et les identités : Soit , l'algèbre des quaternions sur l'anneau Z des entiers relatifs. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz — comme suit : Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur Q. Les quaternions de Hurwitz forment un anneau unitaire, intègre mais non commutatif. Le carré ║a║ de la norme d'un entier de Hurwitz a est un entier naturel. Cet entier est premier si et seulement si a est un élément irréductible de l'anneau. Il existe 24 entiers de Hurwitz de norme 1 : 8 formés par ±1, ±i, ±j, ±k et 16 formés par (±1 ± i ± j ± k)/2. Tout élément a de l'anneau est associé (à gauche ou à droite, au choix) à (au moins) un élément à composantes entières, c'est-à-dire que a est le produit d'un tel élément par l'un de ces 24 éléments de norme 1. En effet, si les quatre composantes de a sont des demi-entiers, il existe ω de la forme tel que les composantes de soient des entiers pairs, et celles de ωa = ω(a – ) + 1 sont alors entières. Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un « préstathme euclidien », c'est-à-dire d'une application v de A dans N vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a = qb + r et v(r) < v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs. En ce sens, l'anneau des entiers de Hurwitz est euclidien à gauche et à droite avec, comme préstathme, la norme. Autrement dit, pour la division euclidienne à gauche : si a et b sont des entiers de Hurwitz, avec b non nul, il existe au moins un couple (q, r) d'entiers de Hurwitz tel que a = qb + r avec ║r║ < ║b║.