In mathematics, an involutory matrix is a square matrix that is its own inverse. That is, multiplication by the matrix A is an involution if and only if A2 = I, where I is the n × n identity matrix. Involutory matrices are all square roots of the identity matrix. This is simply a consequence of the fact that any invertible matrix multiplied by its inverse is the identity.
The 2 × 2 real matrix is involutory provided that
The Pauli matrices in M(2, C) are involutory:
One of the three classes of elementary matrix is involutory, namely the row-interchange elementary matrix. A special case of another class of elementary matrix, that which represents multiplication of a row or column by −1, is also involutory; it is in fact a trivial example of a signature matrix, all of which are involutory.
Some simple examples of involutory matrices are shown below.
where
I is the 3 × 3 identity matrix (which is trivially involutory);
R is the 3 × 3 identity matrix with a pair of interchanged rows;
S is a signature matrix.
Any block-diagonal matrices constructed from involutory matrices will also be involutory, as a consequence of the linear independence of the blocks.
An involutory matrix which is also symmetric is an orthogonal matrix, and thus represents an isometry (a linear transformation which preserves Euclidean distance). Conversely every orthogonal involutory matrix is symmetric.
As a special case of this, every reflection and 180° rotation matrix is involutory.
An involution is non-defective, and each eigenvalue equals , so an involution diagonalizes to a signature matrix.
A normal involution is Hermitian (complex) or symmetric (real) and also unitary (complex) or orthogonal (real).
The determinant of an involutory matrix over any field is ±1.
If A is an n × n matrix, then A is involutory if and only if P+ = (I + A)/2 is idempotent. This relation gives a bijection between involutory matrices and idempotent matrices. Similarly, A is involutory if and only if P− = (I − A)/2 is idempotent.
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Couvre les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire, y compris les équations linéaires, les opérations matricielles, les déterminants et les espaces vectoriels.
L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.
L'étudiant acquiert une initiation théorique à la méthode des éléments finis qui constitue la technique la plus courante pour la résolution de problèmes elliptiques en mécanique. Il apprend à applique
Linear and nonlinear dynamical systems are found in all fields of science and engineering. After a short review of linear system theory, the class will explain and develop the main tools for the quali
En mathématiques, plus précisement en algèbre linéaire, une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée diagonale dont la diagonale principale est remplie de , et dont les autres coefficients valent . Elle peut s'écrire : La matrice identité de taille se note : Il est possible de noter les coefficients de la matrice identité d'ordre avec le delta de Kronecker : avec Les matrices identité sont des matrices unitaires et sont donc inversibles et normales.
In mathematics, an involutory matrix is a square matrix that is its own inverse. That is, multiplication by the matrix A is an involution if and only if A2 = I, where I is the n × n identity matrix. Involutory matrices are all square roots of the identity matrix. This is simply a consequence of the fact that any invertible matrix multiplied by its inverse is the identity. The 2 × 2 real matrix is involutory provided that The Pauli matrices in M(2, C) are involutory: One of the three classes of elementary matrix is involutory, namely the row-interchange elementary matrix.
En mathématiques, la notion de racine carrée d'une matrice particularise aux anneaux de matrices carrées la notion générale de racine carrée dans un anneau. Soient un entier naturel n non nul et M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau A. Un élément R de M(A) est une racine carrée de M si R = M. Une matrice donnée peut n'admettre aucune racine carrée, comme un nombre fini voire infini de racine carrées. Dans M(R) : est une racine carrée de les (pour tout réel x) sont des racines carrées de n'a pas de racine carrée R, car cela imposerait (mais elle en a dans M(C)).