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Concept
Prolongement analytique
Résumé
En analyse complexe, la théorie du prolongement analytique détaille l'ensemble des propriétés et techniques relatives au prolongement des fonctions holomorphes (ou analytiques). Elle considère d'abord la question du prolongement dans le plan complexe. Puis elle aborde des formes plus générales d'extension qui permettent de prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui les accompagnent. La théorie fait alors intervenir soit le concept assez ancien et peu opérant de fonction multiforme, soit le concept plus puissant de surface de Riemann.
Il existe également une théorie du prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes, dont la difficulté est plus grande, et dont le traitement fut à l'origine de l'introduction de la cohomologie des faisceaux.
Étant donné une fonction analytique complexe dans un domaine D, la théorie se pose essentiellement deux questions :
d'une part, quel est le plus grand domaine où la représentation de la fonction est valable (par exemple, si la fonction est définie par une série entière, le rayon de convergence de cette série ; si la fonction est définie par une intégrale ou une équation différentielle, le domaine de validité de cette représentation.)
puis, si la représentation peut être étendue à un domaine plus vaste, même au prix d'une extension de la représentation : intégrale prise au sens des valeurs principales de Cauchy, pseudo fonctions de Hadamard, prolongement radial, , sommation des séries divergentes au sens de Cesàro, de Borel, etc.
On dispose de ce résultat sur les fonctions analytiques.
Soient un ouvert de , un point de et une fonction analytique . On suppose en outre que est connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
est identiquement nulle sur ;
est identiquement nulle dans un voisinage de ;
est identiquement nulle sur un ensemble de points possédant un point d'accumulation dans .
En appliquant ce théorème sur la différence de deux fonctions analytiques, on obtient l'unicité du prolongement analytique.
Source officielle
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