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Concept
Axiome du choix
Résumé
vignette|upright=1.5|Pour tout ensemble d'ensembles non vides (les jarres), il existe une fonction qui associe à chacun de ces ensembles (ces jarres) un élément contenu dans cet ensemble (cette jarre).
En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui
Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie.
L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit :
(0) « Pour tout ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chaque ensemble A appartenant à X associe un élément de cet ensemble A. »
ce qui s'écrit formellement :
L'appel à cet axiome n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini car c'est une conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Dans ce cas, le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de X.
Il y a d'autres cas où une fonction de choix f peut être définie sans l'axiome du choix. Par exemple, pour un ensemble X d'ensembles non vides d'entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour A un élément de X, f(A) égal au plus petit élément de A (on s'est servi de la propriété de bon ordre sur les entiers naturels, et non de l'axiome du choix). Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus, par exemple pour démontrer le théorème de König.
On trouve d'autres formulations de l'axiome du choix, très proches de la précédente, dont les suivantes :
(0') Pour tout ensemble E, il existe une fonction qui à chaque partie non vide de E associe un élément de cette partie.
(1) Pour toute relation d'équivalence R, il existe un système de représentants des classes de R.
(2) Toute surjection possède une section.
(3) Le produit ∏ X d'une famille (X) d'ensembles non vides est non vide.
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