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Concept
Variété rationnelle
Résumé
En géométrie algébrique, une variété rationnelle est une variété algébrique (intègre) V sur un corps K qui est birationnelle à un espace projectif sur K, c'est-à-dire qu'un certain ouvert dense de V est isomorphe à un ouvert d'un espace projectif. De façon équivalente, cela signifie que son corps de fonctions est isomorphe au corps des fractions rationnelles à d indéterminées K(U, ... , U), l'entier d étant alors égal à la dimension de la variété.
Soit V une variété algébrique affine de dimension d définie par un idéal premier ⟨f, ... , f⟩ de K[X, ... , X]. Si V est rationnelle, il existe n+1 polynômes g, ... , g dans K[U, ... , U] tels que Autrement dit, on a un paramétrage rationnel x = g/g (u, ... , u) de la variété. Réciproquement, un tel paramétrage rationnel induit un morphisme du corps de fonctions de V dans K(U, ... , U), mais ce morphisme peut ne pas être surjectif. Si un tel paramétrage existe, la variété est dite unirationnelle. Le théorème de Lüroth assure que toute courbe algébrique unirationnelle est rationnelle. Un théorème de Castelnuovo assure qu'en caractéristique nulle, toute surface algébrique unirationnelle est aussi rationnelle.
Une question de rationalité consiste à demander si une extension de corps donnée L / K est rationnelle, c'est-à-dire isomorphe au corps de fonctions K(U, ... , U) d'une variété rationnelle, dont la dimension d est alors égale au degré de transcendance de L sur K. Ces extensions sont aussi dites purement transcendantes.
Cette question possède diverses variantes, selon la façon dont les corps K et L sont construits.
Par exemple, soient K un corps, y, ... , y des indéterminées sur K et L l'extension de K qu'elles engendrent. Soit G un groupe fini qui agit sur L en fixant chaque élément de K et en permutant les indéterminées. Par un argument standard de théorie de Galois, l'ensemble des points fixes de cette action est un sous-corps de L, couramment noté L. La question de la rationalité de cette extension de K est appelée le problème de Noether.
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