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Concept
Formule du binôme généralisée
Résumé
La formule du binôme généralisée permet de développer une puissance complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton et celle du binôme négatif. Dans le cas d'un exposant rationnel, elle a été énoncée sans démonstration par Newton dans ses Principia Mathematica en 1687, puis prouvée par Euler en 1773.
Énoncé
(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r\choose k}x^{r-k}y^k
ou encore : pour tous nombres complexes r et z tels que z < 1,
(1+z)^r=\sum_{k=0}^\infty{r\choose k}z^k,
série convergente dans laquelle, pour tout entier naturel k, le coefficient de z{{exp|k}} est le coefficient binomial généralisé
{r\choose k}=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}=\frac{(r)_k}{k!},
quotient par k! du symbole de Pochhammer (r) pour les factorielles décroissantes (en particulier, {r\choose 0}=\frac{(r)_0}{0!} est égal à 1, comme quotient de
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