Transformation de Cayley

En mathématiques, la transformation de Cayley, nommée d'après Arthur Cayley, possède différentes significations voisines. La définition originale est celle d'une application entre les matrices antisymétriques et les matrices de rotation. En analyse complexe, la transformation de Cayley est une application conforme envoyant le demi-plan complexe supérieur sur le disque unité. Enfin, dans la théorie des espaces de Hilbert, c'est une application entre opérateurs linéaires. La transformation de Möbius est une involution de (ou de la sphère de Riemann, en ajoutant les valeurs et ) ; on peut envisager de la généraliser à un anneau unitaire A, puisque si est inversible, son inverse commute avec , donc avec ; le cas des matrices s'avère avoir une signification géométrique importante. Si A est une matrice carrée n×n (à coefficients réels ou complexes) telle que I + A soit inversible (où I désigne la matrice identité d'ordre n) — autrement dit : telle que –1 ne soit pas valeur propre de A — alors la matrice c'est-à-dire A = (I – A)(I + A), ou encore A = (I + A)(I – A), vérifie La transformation de Cayley, M ↦ M, est donc une involution de l'ensemble des matrices M telles que soit inversible, c'est-à-dire que Si A est une matrice réelle et antisymétrique (c'est-à-dire telle que A = −A), alors I + A est inversible et Q := A est une matrice orthogonale dont −1 n'est pas valeur propre, ce qui exclut les matrices orthogonales de déterminant –1 ainsi que certaines matrices de rotation. Réciproquement, si Q est une matrice orthogonale n'ayant pas −1 pour valeur propre, alors Q est une matrice antisymétrique dont −1 n'est pas valeur propre. Plus généralement, si A est une matrice complexe antihermitienne alors I + A est inversible et Q := A est une matrice unitaire dont −1 n'est pas valeur propre, et réciproquement. On rencontre parfois une forme légèrement différente, demandant deux applications distinctes, et n'utilisant pas la notation « c » en exposant : On a . Dans le cas 2×2, on a .