Inégalité (mathématiques)

En mathématiques, une inégalité est une formule reliant deux expressions numériques avec un symbole de comparaison. Une inégalité stricte compare nécessairement deux valeurs différentes tandis qu’une inégalité large reste valable en cas d’égalité. Contrairement à une interprétation étymologique, la négation d’une égalité (avec le symbole ≠) n’est pas considérée comme une inégalité et se traite différemment. Les inégalités permettent d’encadrer ou de distinguer des valeurs réelles, de préciser une approximation, de justifier le comportement asymptotique d’une série ou d’une intégrale... La détermination du domaine de validité d’une inégalité revient à la résolution d’une inéquation. Ordre numérique La définition des inégalités repose sur la relation d’ordre de la droite numérique réelle. À partir d’une comparaison de petites quantités, se traduisant par des inégalités sur les entiers naturels, puis sur les entiers relatifs par symétrie par rapport à 0, la notation décimale positionnelle étend ces inégalités aux nombres décimaux, et les règles de mise au même dénominateur permettent de traiter toutes les fractions d’entiers. La définition de l’ordre sur la droite réelle dépend de la construction de R choisie. Elle est illustrée par la position relative sur un axe horizontal orienté usuellement vers la droite : un nombre situé à droite est toujours supérieur à un nombre situé plus à gauche, qui est donc inférieur. Une inégalité stricte peut s’écrire de l’une des deux manières suivantes : a < b (« a est strictement inférieur à b ») ; a > b (« a est strictement supérieur à b »). Une inégalité large peut comparer deux nombres égaux ou différents, sous la forme : a ⩽ b (« a est inférieur ou égal à b ») ; a ⩾ b (« a est supérieur ou égal à b »). Les symboles ⩽ et ⩾, recommandés par la norme ISO 80000-2, sont souvent remplacés par les symboles ≤ et ≥, parfois plus accessibles sur les claviers et défini par un code plus court en LaTeX.