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Concept
Équations de Hamilton-Jacobi
Résumé
En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.
Une transformation canonique est une transformation de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :
(On note où .)
On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :
L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :
Or les équations canoniques vérifiées par impliquent que vérifie les équations d'Euler-Lagrange :
On a donc stationnarité de l'action si et seulement si vérifie les équations canoniques, et de même pour .
On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :
d'où la condition dite d'invariance :
Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation .
On note N le nombre de degrés de liberté du système, représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation . On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice.
Si on choisit d'utiliser les variables , on a une fonction génératrice que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de , il faut appliquer une transformation de Legendre à :
On a alors
et la condition d'invariance devient
On a choisi comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :
Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation à partir de la donnée de la fonction , et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :
Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant , on a simplement et , soit et constants.
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