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Concept
Topologie des boîtes
Résumé
La topologie des boîtes (terme traduit de l'anglais box topology) est une des topologies qu'il est possible d'affecter à un produit d'espaces topologiques . Elle diffère de la topologie dite topologie produit en ce qu'on y considère comme ouverts tous les dès lors que chaque est un ouvert de l'espace correspondant , sans exiger que sauf pour un nombre fini de valeurs de
Soit une famille d'ensembles, chaque étant muni d'une topologie (ensemble d'ouverts) . Soit l'ensemble produit cartésien de cette famille.
Alors la topologie des boîtes sur est celle qui est engendrée par l'ensemble des « boîtes » de la forme , avec . On vérifie que la collection de ces boîtes remplit la condition pour être une base de topologie, à savoir que l'intersection de deux boîtes est égale à une union de boîtes (en l'occurrence, l'intersection est elle-même une boîte) et que est une union de boîtes (c'est même une boîte).
Les ouverts pour la topologie des boîtes sont donc les parties de qui sont une union quelconque de boîtes.
La topologie des boîtes est plus fine - en général, strictement plus fine - que la topologie produit. Beaucoup de propriétés remarquables de celle-ci ne s'y retrouvent pas.
La topologie des boîtes sur un produit d'espaces séparés est séparée.
Contrairement au cas de la topologie produit (théorème de Tykhonov), un produit d'espaces topologiques compacts muni de la topologie des boîtes n'est pas toujours compact.
Un bon exemple est celui d'un produit infini d'espaces finis possédant chacun au moins deux éléments et munis chacun de la topologie discrète. La topologie des boîtes sur cet ensemble produit est la topologie discrète. Mais cet ensemble est infini, et la topologie discrète sur un ensemble infini n'est pas compacte.
On peut considérer l'espace des applications d'un ensemble vers un ensemble comme le produit cartésien de par lui-même autant de fois qu'il y a d'éléments dans .
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