Polynôme minimal d'un endomorphisme

Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser en algèbre linéaire des résultats de la théorie des polynômes. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme. Il est défini comme le polynôme unitaire (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. Il est utilisé essentiellement en dimension finie, où il a un rôle important dans la réduction d'endomorphisme. Il dispose de propriétés fortes, dont la plus célèbre est probablement celle donnée par le théorème de Cayley-Hamilton. Il existe un cas particulier, utilisé dans le cadre de la théorie de Galois et la théorie algébrique des nombres, appelé polynôme minimal d'un nombre algébrique. On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et égale à n. Soit u un endomorphisme de E. On a la définition suivante : Le polynôme minimal est l'outil théorique central pour la réduction d'endomorphisme dans le cas de la dimension finie. Une réduction est une approche fréquente en algèbre, consistant à réduire un concept en des sous-concepts plus simples et qui décrivent parfaitement le concept initial. Dans le cas des endomorphismes, il en existe deux ayant un rôle particulier, les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes diagonalisables ; les polynômes minimaux apparaissent donc pour l'analyse théorique de ces applications linéaires. La raison du rôle central de cet outil réside dans le fait que la notion de polynôme d'endomorphisme est le cadre théorique pour la démonstration des théorèmes permettant la réduction. Le polynôme minimal y joue un rôle clé. Par delà son rôle théorique, le polynôme minimal propose une approche appliquée très opérationnelle. Il joue donc un rôle dans l'analyse des matrices en général et plus particulièrement dans le cas de la réduction de matrice, des matrices diagonales ou nilpotentes.