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Concept
Matrice nilpotente
Résumé
Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de dimension finie.
Cette notion facilite souvent le calcul matriciel. En effet, si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé (c'est-à-dire décomposable en produit de facteurs du premier degré, ce qui est le cas par exemple si le corps des coefficients est algébriquement clos), alors l'endomorphisme associé possède une décomposition de Dunford. Ceci permet de se ramener, dans les calculs, à une matrice semblable (obtenue par changement de base via une matrice de passage) plus simple, somme de deux matrices qui commutent, l'une diagonale et l'autre nilpotente. Cette réduction des matrices joue un rôle important dans la résolution de système d'équations linéaires et la résolution d'équations différentielles linéaires.
Les aspects théoriques, ainsi que l'essentiel des démonstrations des propositions énoncées, sont traitées dans l'article Endomorphisme nilpotent.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice A soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p.
Les notions de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent sont très liées :
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme et A sa matrice dans une certaine base. A est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme est nilpotent, c'est-à-dire qu'il existe un entier p > 0 tel que u = 0, où u désigne et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice
est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que A est non nulle mais A = 0.
Considérons un espace vectoriel réel de dimension 3 avec pour base B = (e1, e2, e3).
Source officielle
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