Calcul fonctionnel

En mathématiques, un calcul fonctionnel est une théorie permettant d'étendre à des opérateurs une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes. Ces théories font désormais partie du domaine de l'analyse fonctionnelle, et sont également liées à la théorie spectrale. Motivations Si f est par exemple une fonction réelle de variable réelle, et si M est un opérateur, l'expression f(M) n'a pas de sens à proprement parler, et lui en donner un, outre qu'en général il n'y a aucune façon naturelle d'y parvenir, est un abus de notation. Cependant, suivant une habitude fréquente, que ce soit en calcul opérationnel, ou en calcul matriciel par exemple, les expressions algébriques sont généralement notées sans faire la distinction, autrement dit, on parle du carré d'une matrice M (et on le note M2) en prolongeant ainsi la fonction f(x) = x2. L'idée d'un calcul fonctionnel est de donner des règles systématiques justifiant cet abus de notation pour des

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Spectral Properties and Stability of Self-Similar Wave Maps

Roland Donninger

In this thesis the Cauchy problem and in particular the question of singularity formation for co--rotational wave maps from 3+1 Minkowski space to the three--sphere

S^3

is studied. Numerics indicate that self--similar solutions of this model play a crucial role in dynamical time evolution. In particular, it is conjectured that a certain solution

f_0

defines a universal blow up pattern in the sense that the future development of a large set of generic blow up initial data approaches

f_0

. Thus, singularity formation is closely related to stability properties of self--similar solutions. In this work, the problem of linear stability is studied by functional analytic methods. In particular, a complete spectral analysis of the perturbation operators is given and well--posedness of the linearized Cauchy problem is proved by means of semigroup theory and, alternatively, the functional calculus for self--adjoint operators. These results lead to growth estimates which provide information on the stability of self--similar wave maps. Finally, convergence properties of

f_n

for large

n

and the spectra of the corresponding perturbation operators are investigated. The thesis is intended to be self--contained as far as possible, i.e. all the mathematical requirements are carefully introduced, including proofs for many results which could be found elsewhere.

University of Vienna2007

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Théorème spectral

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de d

Operator theory

In mathematics, operator theory is the study of linear operators on function spaces, beginning with differential operators and integral operators. The operators may be presented abstractly by their c

Matrice diagonale

En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nu