Théorème des facteurs invariants

En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type fini sur les anneaux principaux. Les facteurs invariants non inversibles sont des obstructions à l'inversibilité des matrices qui n'apparaissent pas dans la théorie des espaces vectoriels. Leur calcul a de nombreuses applications : par exemple trouver la classe d'isomorphie d'un groupe abélien de type fini à partir d'une présentation de celui-ci. Dans un cadre précis, le théorème des facteurs invariants se particularise en théorèmes de réduction d'endomorphisme. Il permet alors notamment de calculer les invariants de similitude d'un endomorphisme sur un espace vectoriel. Il joue un rôle essentiel dans la résolution de systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants et dans la théorie des systèmes linéaires dynamiques. Le résultat du théorème des facteurs invariants est aussi connu sous le nom de forme normale de Smith. Dans le cas non commutatif (voir l'article anneau principal non commutatif) elle s'appelle la forme normale de Jacobson-Teichmüller. La forme de Smith et les éléments de sa diagonale, à savoir les facteurs invariants, ont tout d'abord fait leur apparition en théorie des nombres, pour des matrices à coefficients entiers. Vers le milieu du dix-neuvième siècle, Hermite est conduit à utiliser une forme réduite d'une substitution linéaire à coefficients entiers. Heger parvient à expliciter la forme de Smith en 1858 dans le but de donner la condition qui rend possible de résoudre un système d'équations diophantiennes linéaires dont le rang est égal au nombre d'équations. Enfin, Smith définit en 1861 les facteurs invariants d'une matrice quelconque à coefficients entiers et obtient la forme normale qui porte aujourd'hui son nom. D'autre part, Gauss, également motivé par des problèmes de théorie des nombres et étudiant pour cela les groupes abéliens de type fini (dont il avait introduit la notion), s'était aperçu que ces groupes n'étaient pas toujours cycliques ; il avait été conduit (sans toutefois établir la structure générale de ces groupes) à établir l'existence d'un élément du groupe dont l'ordre est le ppcm des ordres des éléments du groupe, c'est-à-dire son plus grand facteur invariant.