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Concept
Décomposition de Frobenius
Résumé
On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces dits cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.
Soit x un vecteur de E, l'ensembleest un idéal de K[X] non réduit à 0 (d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique est un polynôme non nul appartenant à cet idéal) ; il est donc engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.
Soit x un vecteur de E, l'ensembleest un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.
Soit , on a si et seulement si . Ainsi le polynôme conducteur est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace S.
La dimension de S est égale au degré du polynôme .
Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur divise le polynôme minimal de u. On dira que x est u-maximum lorsque . La décomposition de Frobenius s'appuie sur les deux résultats suivants (démontrés sur Wikiversité) :
tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum ;
pour tout vecteur u-maximum x, S admet un supplémentaire stable par u.
En procédant par récurrence, on parvient alors à la décomposition de Frobenius.
Il existe une suite de vecteurs de E telle que
Les polynômes ne dépendent pas du choix des vecteurs , ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal est et le polynôme caractéristique est .
Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes facteurs invariants.
Alternativement, on peut voir le théorème de décomposition de Frobenius comme un corollaire immédiat du théorème des facteurs invariants en effectuant la correspondance entre le -espace-vectoriel et le -module muni du produit externe défini par .
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