Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Interior algebra
Résumé
In abstract algebra, an interior algebra is a certain type of algebraic structure that encodes the idea of the topological interior of a set. Interior algebras are to topology and the modal logic S4 what Boolean algebras are to set theory and ordinary propositional logic. Interior algebras form a variety of modal algebras.
An interior algebra is an algebraic structure with the signature
⟨S, ·, +, ′, 0, 1, I⟩
where
⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩
is a Boolean algebra and postfix I designates a unary operator, the interior operator, satisfying the identities:
xI ≤ x
xII = xI
(xy)I = xIyI
1I = 1
xI is called the interior of x.
The dual of the interior operator is the closure operator C defined by xC = ((x′)I)′. xC is called the closure of x. By the principle of duality, the closure operator satisfies the identities:
xC ≥ x
xCC = xC
(x + y)C = xC + yC
0C = 0
If the closure operator is taken as primitive, the interior operator can be defined as xI = ((x′)C)′. Thus the theory of interior algebras may be formulated using the closure operator instead of the interior operator, in which case one considers closure algebras of the form ⟨S, ·, +, ′, 0, 1, C⟩, where ⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩ is again a Boolean algebra and C satisfies the above identities for the closure operator. Closure and interior algebras form dual pairs, and are paradigmatic instances of "Boolean algebras with operators." The early literature on this subject (mainly Polish topology) invoked closure operators, but the interior operator formulation eventually became the norm following the work of Wim Blok.
Elements of an interior algebra satisfying the condition xI = x are called open. The complements of open elements are called closed and are characterized by the condition xC = x. An interior of an element is always open and the closure of an element is always closed. Interiors of closed elements are called regular open and closures of open elements are called regular closed. Elements which are both open and closed are called clopen. 0 and 1 are clopen.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Publications associées (16)
Concepts associés (3)
Algèbre d'ensembles
Le concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. Cette définition évoque celle d'une tribu ; en les rapprochant on constate immédiatement qu'un ensemble de parties d'un ensemble est une tribu si et seulement si c'est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable.
Topologie d'Alexandroff
En mathématiques, une topologie d'Alexandroff est une topologie pour laquelle l'intersection d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert (et pas seulement l'intersection d'une famille finie d'ouverts). Cette notion a été introduite en 1937 par Pavel Alexandroff. Un espace topologique vérifie cette propriété si et seulement si sa topologie est cohérente avec ses sous-, c'est pourquoi un tel espace est aussi appelé espace finiment engendré. Les topologies d'Alexandroff sur un ensemble X sont en bijection avec les préordres sur X.
Sémantique de Kripke
En logique mathématique, la sémantique de Kripke est une sémantique formelle utilisée pour les logiques non-classiques comme la logique intuitionniste et certaines logiques modales. Elle a été développée à la fin des années 1950 et début des années 1960 par Saul Kripke et est fondée sur la théorie des mondes possibles. Un cadre de Kripke est un couple (W, R), où W est un ensemble de mondes appelés parfois mondes possibles et où R est une relation binaire sur W. L'ensemble W s'appelle parfois l'univers des mondes possibles.