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Concept
Fonction convexe
Résumé
vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe.
En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe :
si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ;
ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ;
ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points et ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel est convexe lorsque, pour tous et de et tout dans on a :
Lorsque l'inégalité est stricte (avec différent de et dans ), on parle de fonction strictement convexe.
La fonction carré et la fonction exponentielle sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l'ensemble réel .
Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel (ou affine) arbitraire et à valeurs dans la droite réelle achevée .
À l'inverse, une fonction dont un même segment est situé en dessous du graphe, ou dont l'hypographe (l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe de la fonction) est un ensemble convexe, ou encore dont, vu d'en dessous, le graphe est en creux, est dite concave. En d'autres termes, une fonction est concave si son opposée est convexe. Ainsi, les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.
Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l'analyse convexe, une discipline « intermédiaire » entre l'algèbre linéaire et l'analyse non linéaire. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).
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