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Concept
Condition aux limites de Robin
Résumé
En mathématique, une condition aux limites de Robin (ou de troisième type) est un type de condition aux limites portant le nom du mathématicien français Victor Gustave Robin (1855-1897), qui a travaillé dans le domaine de la thermodynamique. Elle est également appelée condition aux limites de Fourier. Imposée à une équation différentielle ordinaire ou à une équation aux dérivées partielles, il s'agit d'une relation linéaire entre les valeurs de la fonction et les valeurs de la dérivée de la fonction sur le bord du domaine.
Une condition aux limites de Robin est une combinaison pondérée d'une condition aux limites de Dirichlet et d'une condition aux limites de Neumann. Ceci contraste avec la condition aux limites mêlée, constituée de conditions aux limites de types différents imposées chacune sur une partie du bord du domaine. La condition aux limites de Robin est aussi appelée condition d'impédance, en raison de son rôle dans les problèmes d'électromagnétisme.
Si O est un domaine dans lequel une équation doit être résolue, et si désigne le bord du domaine, la condition aux limites de Robin est de la forme :
où a, b et g sont des fonctions définies sur . Ici, u est la solution définie dans que l'on cherche à déterminer et désigne la dérivée par rapport à la normale extérieure sur le bord.
En dimension un, si, par exemple, O = [0, 1], la condition aux limites de Robin s'écrit :
Remarquons que le signe devant le terme dérivé change selon la partie du bord considérée : la raison est que le vecteur normal à [0, 1] au point 0 pointe vers la direction négative (gauche), tandis qu'en 1 ce vecteur pointe vers les positifs.
La condition aux limites de Robin est souvent utilisée dans la résolution des problèmes de Sturm-Liouville.
Victor Gustave Robin
Condition aux limites de Dirichlet
Condition aux limites de Neumann
Condition aux limites dynamique
Condition aux limites mêlée
Condition aux limites
Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
Gustafson, K.
Source officielle
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Cauchy boundary condition
In mathematics, a Cauchy (koʃi) boundary condition augments an ordinary differential equation or a partial differential equation with conditions that the solution must satisfy on the boundary; ideally so as to ensure that a unique solution exists. A Cauchy boundary condition specifies both the function value and normal derivative on the boundary of the domain. This corresponds to imposing both a Dirichlet and a Neumann boundary condition. It is named after the prolific 19th-century French mathematical analyst Augustin-Louis Cauchy.
Condition aux limites mêlée
En mathématiques, une condition aux limites mêlée ou mixte correspond à la juxtaposition de différentes conditions aux limites sur différentes parties du bord (ou frontière) du domaine dans lequel est posée une équation aux dérivées partielles ou une équation différentielle ordinaire. Par exemple, si l'on considère les vibrations d'une corde élastique de longueur L se déplaçant à une vitesse c dont une extrémité (en 0) est fixe, et l'autre (en L) est attachée à un anneau oscillant librement le long d'une tige droite, on a alors une équation sur un intervalle [0,L].
Condition aux limites de Neumann
En mathématiques, une condition aux limites de Neumann (nommée d'après Carl Neumann) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs des dérivées que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine. Pour une équation différentielle, par exemple : la condition aux limites de Neumann sur l'intervalle s'exprime par : où et sont deux nombres donnés.