Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints encombrés

Cette séance de cours couvre la décomposition spectrale d'un opérateur auto-adjoint défini sur un espace Hilbert séparable. En appliquant le calcul fonctionnel, l'espace est décomposé en sous-espaces invariants. Le processus consiste à définir des sous-espaces successifs et à démontrer l'existence de mesures qui conduisent à un isomorphisme entre l'espace Hilbert et un espace de fonctions carrées-intégrables. La séance de cours conclut avec le théorème de décomposition spectrale pour les opérateurs auto-adjoints délimités, qui implique une famille de mesures, une cartographie isomorphisme, et l'opérateur de multiplication. La preuve consiste à exprimer des éléments de l'espace Hilbert comme une somme de composants, chacun associé à une fonction dans l'espace carré-intégrable. La séance de cours explore également les propriétés de convergence et la relation entre la décomposition spectrale et la diagonalisation dans des dimensions finies.