Axiomes des probabilitésEn théorie des probabilités, les axiomes de probabilités, également appelés axiomes de Kolmogorov du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov qui les a développés, désignent les propriétés que doit vérifier une application afin de formaliser l'idée de probabilité. Ces propriétés peuvent être résumées ainsi : si est une mesure sur un espace mesurable , alors doit être un espace de probabilité. Le théorème de Cox fournit une autre approche pour formaliser les probabilités, privilégiée par certains bayésiens.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Espace pseudo-métriqueEn mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).
Espace de longueurEn mathématiques, un espace de longueur est un espace métrique particulier, qui généralise la notion de variété riemannienne : la distance y est définie par une fonction vérifiant une axiomatique la rendant proche de l'idée concrète de distance. Les espaces de longueur ont été étudiés au début du par et sous le nom d'espaces métriques intrinsèques, et réintroduits plus récemment par Mikhaïl Gromov. Soit X un espace topologique. Une courbe dans X est une application continue , où I est un intervalle de .
Category of metric spacesIn , Met is a that has metric spaces as its and metric maps (continuous functions between metric spaces that do not increase any pairwise distance) as its morphisms. This is a category because the composition of two metric maps is again a metric map. It was first considered by . The monomorphisms in Met are the injective metric maps. The epimorphisms are the metric maps for which the domain of the map has a dense in the range. The isomorphisms are the isometries, i.e. metric maps which are injective, surjective, and distance-preserving.
Élie CartanÉlie Joseph Cartan ( – ) est un mathématicien français qui a effectué des travaux fondamentaux dans la théorie des groupes de Lie et leurs applications géométriques. Il a également contribué de manière significative à la physique mathématique, à la géométrie différentielle, aux équations différentielles, à la théorie des groupes et à la mécanique quantique. Il est largement considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du . Il a défendu avec succès sa thèse sur les groupes de Lie à l'École normale supérieure en 1894.
InvariantEn mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre. Si g : E→E est une application, un invariant de g est un point fixe, c'est-à-dire un élément x de E qui est sa propre image par g : Pour une telle application g, une partie P de E est dite : invariante point par point si tous ses éléments sont des points fixes ; globalement invariante par g, ou stable par g, si , c'est-à-dire : (cette propriété est moins forte que la précédente).
Quasi-isometryIn mathematics, a quasi-isometry is a function between two metric spaces that respects large-scale geometry of these spaces and ignores their small-scale details. Two metric spaces are quasi-isometric if there exists a quasi-isometry between them. The property of being quasi-isometric behaves like an equivalence relation on the class of metric spaces. The concept of quasi-isometry is especially important in geometric group theory, following the work of Gromov.
Algèbre de von NeumannUne algèbre de von Neumann (nommée en l'honneur de John von Neumann) ou W*-algèbre est une -algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, fermée pour la topologie faible, et qui contient l'opérateur identité (définition « concrète ») . Les algèbres de von Neumann sont des C-algèbres. De façon surprenante, le théorème du bicommutant de von Neumann montre qu'elles admettent une définition purement algébrique équivalente à la définition topologique.
Espace polonaisEn mathématiques, un espace métrisable à base dénombrable (ou séparable, cela revient au même pour un espace métrisable) est un espace polonais si sa topologie peut être définie par une distance qui en fait un espace complet. Tout espace compact métrisable, tout sous-espace fermé ou ouvert d'un espace polonais, tout produit dénombrable d'espaces polonais, tout espace de Banach séparable est un espace polonais. Cette terminologie a été introduite par le groupe Bourbaki, dans le volume sur la topologie générale de ses Éléments de mathématique.
