Espace pseudo-métrique

In mathematics, a pseudometric space is a generalization of a metric space in which the distance between two distinct points can be zero. Pseudometric spaces were introduced by Đuro Kurepa in 1934. In the same way as every normed space is a metric space, every seminormed space is a pseudometric space. Because of this analogy the term semimetric space (which has a different meaning in topology) is sometimes used as a synonym, especially in functional analysis. When a topology is generated using a family of pseudometrics, the space is called a gauge space. A pseudometric space is a set together with a non-negative real-valued function called a , such that for every Symmetry: Subadditivity/Triangle inequality: Unlike a metric space, points in a pseudometric space need not be distinguishable; that is, one may have for distinct values Any metric space is a pseudometric space. Pseudometrics arise naturally in functional analysis. Consider the space of real-valued functions together with a special point This point then induces a pseudometric on the space of functions, given by for A seminorm induces the pseudometric . This is a convex function of an affine function of (in particular, a translation), and therefore convex in . (Likewise for .) Conversely, a homogeneous, translation-invariant pseudometric induces a seminorm. Pseudometrics also arise in the theory of hyperbolic complex manifolds: see Kobayashi metric. Every measure space can be viewed as a complete pseudometric space by defining for all where the triangle denotes symmetric difference. If is a function and d2 is a pseudometric on X2, then gives a pseudometric on X1. If d2 is a metric and f is injective, then d1 is a metric. The is the topology generated by the open balls which form a basis for the topology. A topological space is said to be a if the space can be given a pseudometric such that the pseudometric topology coincides with the given topology on the space. The difference between pseudometrics and metrics is entirely topological.

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Concepts associés (18)

Cours associés (9)

Séances de cours associées (39)

Espace pseudo-métrique

En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Neighbourhood system

In topology and related areas of mathematics, the neighbourhood system, complete system of neighbourhoods, or neighbourhood filter for a point in a topological space is the collection of all neighbourhoods of Neighbourhood of a point or set An of a point (or subset) in a topological space is any open subset of that contains A is any subset that contains open neighbourhood of ; explicitly, is a neighbourhood of in if and only if there exists some open subset with . Equivalently, a neighborhood of is any set that contains in its topological interior.

Semi-norme

En mathématiques, une semi-norme est une application d'un espace vectoriel dans l'ensemble des réels positifs. C'est « presque » une norme mais une propriété est manquante : la semi-norme d'un vecteur non nul peut être nulle. En analyse fonctionnelle, cette situation est relativement courante. L'espace vectoriel est un espace de fonctions d'un espace mesuré à valeurs dans les réels ou complexes. La semi-norme correspond par exemple à l'intégrale de la valeur absolue ou du module de la fonction.

MATH-688: Reading group in applied topology I

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MATH-476: Optimal transport

The first part is devoted to Monge and Kantorovitch problems, discussing the existence and the properties of the optimal plan. The second part introduces the Wasserstein distance on measures and devel

MATH-220: Metric and topological spaces

A topological space is a space endowed with a notion of nearness. A metric space is an example of a topological space, where the concept of nearness is measured by a distance function. Within this abs

Lp Cone et Embeddings approximatifs MATH-513: Metric embeddings

Couvre le concept de cône Lp et les encastrements approximatifs dans les espaces métriques.

Préimages dans une construction de collage MATH-225: Topology

Plonge dans des préimages d'ensembles fermés dans une union disjointe.

Analyse fonctionnelle I: Conséquences du théorème de Baire

Explore les implications du théorème de Baire dans l'analyse fonctionnelle et les espaces métriques.