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Concept
Espace de longueur
Résumé
En mathématiques, un espace de longueur est un espace métrique particulier, qui généralise la notion de
variété riemannienne : la distance y est définie par une fonction vérifiant une axiomatique la rendant proche de l'idée concrète de distance.
Les espaces de longueur ont été étudiés au début du par et sous le nom d'espaces métriques intrinsèques, et réintroduits plus récemment par Mikhaïl Gromov.
Soit X un espace topologique. Une courbe dans X est une application continue ,
où I est un intervalle de .
Une structure de longueur sur X est la donnée d'un ensemble de courbes
(dites admissibles) et d'une application
vérifiant les propriétés suivantes :
si c est constante,
Juxtaposition : si et sont admissibles et telles que
et si est la courbe obtenue en faisant suivre par ,
alors est admissible, et
Restriction : si est admissible, il en est de même de ses restrictions à tout sous-intervalle, et l'application est continue.
Indépendance du paramétrage : si est admissible, et si , alors est admissible et
Compatibilité : pour tout x de X et tout voisinage ouvert de x, il existe un tel que toute courbe admissible telle que et vérifie .
Le cas modèle est évidemment celui de l'espace euclidien.
On prend pour courbes admissibles les courbes par morceaux, et pour L la longueur usuelle.
Si on prend pour courbes admissibles les courbes par morceaux de
telles que
on obtient un exemple de structure de longueur de Carnot-Carathéodory.
Toute métrique riemannienne ou finslérienne définit une structure de longueur.
Soit la borne inférieure des prise pour
toutes les courbes admissibles joignant x et y.
On définit ainsi une distance sur X (prenant des valeurs éventuellement infinies). La topologie associée à
cette distance est plus fine que la topologie de départ.
vignette|Dans le cas du cercle unité, la distance d induite par la distance euclidienne est la longueur de la corde, tandis que est la longueur de l'arc
Dans un espace métrique (X, d), on définit la longueur d'une courbe comme la borne supérieure des sommes
prise pour toutes les subdivisions de l'intervalle [a,b].
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