Nombre de Mersenne premiervignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits.
Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseursEn mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque : La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
Lemme de Gauss (théorie des nombres)Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi. Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors où est le symbole de Legendre et est défini de la façon suivante : ou encore, de façon équivalente : La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss.
Courbe elliptiqueEn mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.
NombreUn nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.
Safe and Sophie Germain primesIn number theory, a prime number p is a Sophie Germain prime if 2p + 1 is also prime. The number 2p + 1 associated with a Sophie Germain prime is called a safe prime. For example, 11 is a Sophie Germain prime and 2 × 11 + 1 = 23 is its associated safe prime. Sophie Germain primes are named after French mathematician Sophie Germain, who used them in her investigations of Fermat's Last Theorem. One attempt by Germain to prove Fermat’s Last Theorem was to let p be a prime number of the form 8k + 7 and to let n = p – 1.
Diviseur (géométrie algébrique)En mathématiques, plus précisément en géométrie algébrique, les diviseurs sont une généralisation des sous-variétés de codimension 1 de variétés algébriques ; deux généralisations différentes sont d'un usage commun : les diviseurs de Weil et les diviseurs de Cartier. Les deux concepts coïncident dans les cas des variétés non singulières. En géométrie algébrique, comme en géométrie analytique complexe, ou en géométrie arithmétique, les diviseurs forment un groupe qui permet de saisir la nature d'un schéma (une variété algébrique, une surface de Riemann, un anneau de Dedekind.
Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennesEn mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ».
Test de PépinEn mathématiques, le test de Pépin est un test de primalité, qui est utilisé pour déterminer si un nombre de Fermat est premier ou non. C'est une variante du théorème de Proth. Ce test porte le nom du mathématicien français Théophile Pépin. Soit le n-ième nombre de Fermat. Le test de Pépin indique que, pour n > 0: est premier si et seulement si L'expression peut être évaluée modulo par exponentiation rapide. Le test a donc une faible complexité en temps.
Droits des ÉtatsDans la politique aux États-Unis, le terme « droits des États » (states' rights) fait référence à la souveraineté individuelle des gouvernements des États américains vis-à-vis de l'État fédéral. La répartition des pouvoirs est déterminée par la Constitution, reflétant notamment les pouvoirs énumérés du Congrès et le Dixième amendement. La question des droits des États fut l'un des principaux arguments négationnistes du mouvement néo-confédéré, qui a cherché à légitimer a posteriori la « Cause perdue » de la Confédération, en niant le fait que l'esclavage fut la cause principale de la guerre de Sécession.
