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Concept
Nombre de Mersenne premier
Résumé
vignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648)
En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits. Avant Mersenne, et même un certain temps après lui, la recherche des nombres de Mersenne premiers est intrinsèquement liée à celle des nombres parfaits.
Si le nombre de Mersenne 2 − 1 est premier, alors est premier. Par exemple, les nombres de Mersenne sont premiers, et leurs exposants 2, 3 le sont bien aussi. Cette condition que soit premier est nécessaire pour que le nombre de Mersenne 2 − 1 soit premier. Par exemple, 1, 4 ne sont pas premiers, et les nombres de Mersenne ne le sont effectivement pas. Mais cette condition n'est pas suffisante. Par exemple, 11 est premier, mais le nombre de Mersenne ne l'est pas.
Il existe un test de primalité efficace pour les nombres de Mersenne, le test de primalité de Lucas-Lehmer ; de ce fait, les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne. Les nombres de Mersenne premiers sont pourtant rares : seulement 51 sont connus début 2022. On ne sait même pas s'il en existe une infinité.
La recherche de grands nombres de Mersenne premiers fait l'objet d'un projet de calcul collaboratif, le projet GIMPS.
Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ». Historiquement, c'est cette connexion qui a motivé l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le , Euclide démontrait que si M = 2 – 1 est un nombre premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au , Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.
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