Semi-simplicityIn mathematics, semi-simplicity is a widespread concept in disciplines such as linear algebra, abstract algebra, representation theory, , and algebraic geometry. A semi-simple object is one that can be decomposed into a sum of simple objects, and simple objects are those that do not contain non-trivial proper sub-objects. The precise definitions of these words depends on the context. For example, if G is a finite group, then a nontrivial finite-dimensional representation V over a field is said to be simple if the only subrepresentations it contains are either {0} or V (these are also called irreducible representations).
Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Fundamental group schemeIn mathematics, the fundamental group scheme is a group scheme canonically attached to a scheme over a Dedekind scheme (e.g. the spectrum of a field or the spectrum of a discrete valuation ring). It is a generalisation of the étale fundamental group. Although its existence was conjectured by Alexander Grothendieck, the first proof if its existence is due, for schemes defined over fields, to Madhav Nori. A proof of its existence for schemes defined over Dedekind schemes is due to Marco Antei, Michel Emsalem and Carlo Gasbarri.
Sous-groupe de BorelDans la théorie des groupes algébriques, un sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique G est un sous-groupe algébrique résoluble, fermé, connexe et maximal pour ces propriétés. Par exemple, dans le groupe général linéaire GLn (matrices inversibles n×n), le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles est un sous-groupe de Borel. Pour les groupes réalisés sur des corps algébriquement clos, il existe une seule classe de conjugaison de sous-groupes de Borel.
Théorie des invariantsEn mathématiques, la théorie des invariants, initiée et développée en particulier par Arthur Cayley, James Joseph Sylvester, Charles Hermite, Paul Gordan et de nombreux autres mathématiciens, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du , elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématiques de l'invariance de la symétrie).
Chow groupIn algebraic geometry, the Chow groups (named after Wei-Liang Chow by ) of an algebraic variety over any field are algebro-geometric analogs of the homology of a topological space. The elements of the Chow group are formed out of subvarieties (so-called algebraic cycles) in a similar way to how simplicial or cellular homology groups are formed out of subcomplexes. When the variety is smooth, the Chow groups can be interpreted as cohomology groups (compare Poincaré duality) and have a multiplication called the intersection product.
Geometric invariant theoryIn mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper in classical invariant theory. Geometric invariant theory studies an action of a group G on an algebraic variety (or scheme) X and provides techniques for forming the 'quotient' of X by G as a scheme with reasonable properties.
Parabolic inductionIn mathematics, parabolic induction is a method of constructing representations of a reductive group from representations of its parabolic subgroups. If G is a reductive algebraic group and is the Langlands decomposition of a parabolic subgroup P, then parabolic induction consists of taking a representation of , extending it to P by letting N act trivially, and inducing the result from P to G. There are some generalizations of parabolic induction using cohomology, such as cohomological parabolic induction and Deligne–Lusztig theory.
Théorie géométrique des groupesLa théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.
Groupe nilpotentEn théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires. Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.
