En mathématiques, la théorie des invariants, initiée et développée en particulier par Arthur Cayley, James Joseph Sylvester, Charles Hermite, Paul Gordan et de nombreux autres mathématiciens, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du , elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématiques de l'invariance de la symétrie). Malgré un travail acharné, elle n'a pas tenu ses promesses, mais a permis de développer plusieurs autres disciplines. Au , les groupes symétriques et les fonctions symétriques, l'algèbre commutative, les espaces de modules et les représentations des groupes de Lie en sont les descendants les plus féconds. La plupart des invariants des géométries classiques (distances, angles, birapport, volume) sont, à un paramètre près, des fonctions polynomiales invariantes pour un groupe classique et ont des analogues sur des corps commutatifs plus généraux. Par exemple, dans un espace affine euclidien, la fonction qui associe à deux points le carré de leur distance est polynomiale, invariante par le groupe des isométries. La théorie des invariants consiste, pour une action de groupe donnée, à dresser une liste de fonctions polynomiales élémentaires invariantes pour le groupe considéré, desquelles toute autre fonction polynomiale invariante se déduit. On peut citer les exemples suivants : Pour le groupe symétrique permutant n nombres , les polynômes symétriques élémentaires sont invariants, et tout polynôme en invariant par le groupe symétrique est une expression algébrique de ces fonctions élémentaires. Pour le groupe orthogonal agissant dans un espace euclidien, le produit scalaire est invariant, et toute fonction de plusieurs vecteurs polynomiale en les composantes de ces vecteurs et invariante par le groupe est une expression algébrique du produit scalaire de ces vecteurs.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Séances de cours associées (31)
Projecteurs sur des sous-espaces invariants
Couvre les projecteurs sur les sous-espaces invariants en physique quantique et leurs applications.
Théorie de la représentation : actions et invariants
Couvre la théorie de la représentation des groupes, en se concentrant sur les actions et les invariants.
Lemme de Schur: Théorie de la répétition de groupe
Explore les représentations irréductibles et réductibles dans la théorie de la répétition de groupe et le lemme de Schur en physique quantique.
Afficher plus
Publications associées (43)
Concepts associés (17)
Algèbre générale
L'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.
Théorie des représentations
La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
James Joseph Sylvester
James Joseph Sylvester, né le et mort le à Londres, est un mathématicien anglais. Fils d’un commerçant juif de Londres, Abraham Joseph, James prend le nom anglais de James J. Sylvester à l’exemple de son frère qui venait d’émigrer aux États-Unis. Âgé de seulement 14 ans, il suit les conférences d’Augustus de Morgan à l’Université de Londres mais, accusé d'avoir tenté de poignarder un autre étudiant, sa famille doit lui interdire d'y retourner et l'inscrit à la Liverpool Royal Institution.
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.