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Concept
Groupe nilpotent
Résumé
En théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires.
Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.
On définit alors par récurrence une suite de sous-groupes de G, notés C(G), par : C(G) = G et C(G) = [G, C(G)].
Cette suite — qu'on note aussi (γn(G))n — est appelée la suite centrale descendante de G. On dit que G est nilpotent s'il existe un entier n tel que C(G) = { e }. En outre, si G est un groupe nilpotent, sa classe de nilpotence est le plus petit entier n tel que C(G) = { e }.
On peut également définir la nilpotence à l'aide de la ascendante (ζn(G))n de G, définie par récurrence de la façon suivante : ζ0(G) = { e } et ζn+1(G) est le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que, pour tout élément g de G, [g, x] appartienne à ζn(G). Cette suite est également la suite de sous-groupes normaux de G définie comme suit : ζ0(G) = { e } et, pour tout n, ζn+1(G) est le seul sous-groupe de G contenant ζn(G) et tel que ζn+1(G)/ζn(G) soit le centre de G/ζn(G). (Par exemple, ζ1(G) est le centre de G.) On prouve que G est nilpotent si et seulement si sa suite centrale ascendante atteint G et que, dans ce cas, la classe de nilpotence de G est le plus petit nombre naturel n tel que ζn(G) = G.
Un groupe est nilpotent de classe 0 si et seulement s'il est trivial.
Un groupe est nilpotent de classe 1 si et seulement s'il est abélien et non trivial.
Pour tout anneau unitaire R non nul (non nécessairement commutatif), le groupe de Heisenberg sur R est nilpotent de classe 2. Plus généralement, le sous-groupe du groupe général linéaire GL(R) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale principale est nilpotent de classe n – 1.
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