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Concept
Groupe nilpotent
Résumé
En théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires.
Définition
Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.
On définit alors par récurrence une suite de sous-groupes de G, notés C(G), par : C(G) = G et C(G) = [G, C(G)].
Cette suite — qu'on note aussi (γn(G))n — est appelée la suite centrale descendante de G. On dit que G est nilpotent s'il existe un entier n tel que C(G) = { e }. En outre, si G est un groupe nilpotent, sa classe de nilpotence est le plus petit entier n tel que C(G) = { e }.
On peut également définir la nilpotence à l'aide de la ascendan
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