Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Polynôme cyclotomiqueEn mathématiques, plus précisément en algèbre commutative, le polynôme cyclotomique usuel associé à un entier naturel n est le polynôme unitaire dont les racines complexes sont les racines primitives n-ièmes de l'unité. Son degré vaut φ(n), où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Il est à coefficients entiers et irréductible sur Q.
Arithmetic of abelian varietiesIn mathematics, the arithmetic of abelian varieties is the study of the number theory of an abelian variety, or a family of abelian varieties. It goes back to the studies of Pierre de Fermat on what are now recognized as elliptic curves; and has become a very substantial area of arithmetic geometry both in terms of results and conjectures. Most of these can be posed for an abelian variety A over a number field K; or more generally (for global fields or more general finitely-generated rings or fields).
Idéal maximalUn idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.
Morphism of algebraic varietiesIn algebraic geometry, a morphism between algebraic varieties is a function between the varieties that is given locally by polynomials. It is also called a regular map. A morphism from an algebraic variety to the affine line is also called a regular function. A regular map whose inverse is also regular is called biregular, and the biregular maps are the isomorphisms of algebraic varieties.
Finite field arithmeticIn mathematics, finite field arithmetic is arithmetic in a finite field (a field containing a finite number of elements) contrary to arithmetic in a field with an infinite number of elements, like the field of rational numbers. There are infinitely many different finite fields. Their number of elements is necessarily of the form pn where p is a prime number and n is a positive integer, and two finite fields of the same size are isomorphic.
Cubic fieldIn mathematics, specifically the area of algebraic number theory, a cubic field is an algebraic number field of degree three. If K is a field extension of the rational numbers Q of degree [K:Q] = 3, then K is called a cubic field. Any such field is isomorphic to a field of the form where f is an irreducible cubic polynomial with coefficients in Q. If f has three real roots, then K is called a totally real cubic field and it is an example of a totally real field. If, on the other hand, f has a non-real root, then K is called a complex cubic field.
Caractéristique d'un anneauEn algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro. On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.
Ideal theoryIn mathematics, ideal theory is the theory of ideals in commutative rings. While the notion of an ideal exists also for non-commutative rings, a much more substantial theory exists only for commutative rings (and this article therefore only considers ideals in commutative rings.) Throughout the articles, rings refer to commutative rings. See also the article ideal (ring theory) for basic operations such as sum or products of ideals.
