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Concept
Groupe abélien
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules.
On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
On dit qu'un groupe est abélien, ou commutatif, lorsque la loi de composition interne du groupe est commutative, c'est-à-dire lorsque :
pour tout
La loi d'un groupe commutatif est parfois notée additivement, c'est-à-dire par le signe +. Quand cette convention est adoptée, l'élément neutre est noté 0, le symétrique d'un élément x du groupe est noté –x et, pour tout entier relatif n, on note :
Les groupes monogènes, c'est-à-dire le groupe additif (Z, +) des entiers et le groupe additif (Z/nZ, +) des entiers modulo n.
Le groupe additif (R, +) des nombres réels et le groupe multiplicatif (R*, ×).
Un point O étant fixé dans le plan, l'ensemble des rotations de centre O muni de la composition est un groupe abélien.
Tout sous-groupe d'un groupe abélien est abélien. Il est par ailleurs distingué et on peut donc considérer le groupe quotient, qui est également abélien.
Soit G un groupe (pas nécessairement abélien) et H un groupe abélien noté additivement. Pour f et g applications de G vers H, on définit leur somme f + g par (f + g)(x) = f(x) + g(x). Muni de cette opération, l'ensemble Hom(G, H) de tous les morphismes de groupes de G vers H est lui-même un groupe abélien.
Tout ensemble non vide peut être muni d'une structure de groupe abélien (pour les ensembles infinis, l'axiome du choix est indispensable).
Un groupe est abélien si et seulement si la loi de composition interne de ( étant muni de la loi de groupe produit) est un homomorphisme.
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