CohomologyIn mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups, usually one associated with a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.
Corps localEn mathématiques, un corps local est un corps commutatif topologique localement compact pour une topologie non discrète. Sa topologie est alors définie par une valeur absolue. Les corps locaux interviennent de façon fondamentale en théorie algébrique des nombres. Si k est un corps fini, le corps k((X)) des séries formelles de Laurent à coefficients dans k est un corps local. Tout complété d'un corps de nombres (ou plus généralement un corps global) pour une valuation non triviale est un corps local.
Cohomologie des faisceauxLes groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines : où est une résolution injective du faisceau , et désigne le groupe abélien des sections globales de . A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie. Le zéroième groupe est canoniquement isomorphe à .
Higher local fieldIn mathematics, a higher (-dimensional) local field is an important example of a complete discrete valuation field. Such fields are also sometimes called multi-dimensional local fields. On the usual local fields (typically completions of number fields or the quotient fields of local rings of algebraic curves) there is a unique surjective discrete valuation (of rank 1) associated to a choice of a local parameter of the fields, unless they are archimedean local fields such as the real numbers and complex numbers.
Complexe différentielEn mathématiques, un complexe différentiel est un groupe abélien (voire un module), ou plus généralement un objet d'une catégorie abélienne, muni d'un endomorphisme de carré nul (appelé différentielle ou bord), c'est-à-dire dont l' est contenue dans le noyau. Cette condition permet de définir son homologie, qui constitue un invariant essentiel en topologie algébrique. Un complexe différentiel peut être gradué pour constituer un complexe de chaines ou de cochaines).
Cohomologie motiviqueUne cohomologie motivique est une théorie cohomologique en mathématiques dont l'existence a été conjecturée pour la première fois par Alexandre Grothendieck dans les années 1960. À l'époque, on la concevait comme construite sur les bases des sur les cycles algébriques, en géométrie algébrique. Elle puise ses fondements en théorie des catégories, ce qui permet de déduire des conséquences à partir de ces conjectures. Grothendieck et Bombieri ont démontré la profondeur de cette approche en dérivant une des conjectures de Weil de cette façon.
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Local cohomologyIn algebraic geometry, local cohomology is an algebraic analogue of relative cohomology. Alexander Grothendieck introduced it in seminars in Harvard in 1961 written up by , and in 1961-2 at IHES written up as SGA2 - , republished as . Given a function (more generally, a section of a quasicoherent sheaf) defined on an open subset of an algebraic variety (or scheme), local cohomology measures the obstruction to extending that function to a larger domain.
Théorie des corps de classes locauxEn mathématiques, la théorie des corps de classes locaux ou théorie du corps de classes local est l'étude en théorie des nombres des extensions abéliennes des corps locaux. Cette théorie peut être considérée comme achevée. Au début du , après les travaux de Teiji Takagi et Emil Artin qui complétèrent la théorie des corps de classes, les résultats locaux se déduisaient des résultats globaux. Actuellement, c'est le point de vue inverse qui est le plus répandu : les résultats locaux sont établis au préalable puis permettent de déduire les correspondances globales.
Entier de Gaussthumb|Carl Friedrich Gauss. En mathématiques, et plus précisément, en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. Il s'agit formellement d'un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté , désignant ici l'unité imaginaire.
