Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Courbe elliptiqueEn mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.
Représentation galoisienneLa théorie des représentations galoisiennes est l'application naturelle de la théorie des représentations à la théorie algébrique des nombres. Un module galoisien est un module sur lequel agit un groupe de Galois G. Ces modules seront par exemple des groupes d'unités, des groupes des classes, ou des groupes de Galois eux-mêmes. En théorie algébrique des nombres classique, soit L une extension galoisienne d'un corps de nombres K, et soit G le groupe de Galois correspondant.
Moduli stack of elliptic curvesIn mathematics, the moduli stack of elliptic curves, denoted as or , is an algebraic stack over classifying elliptic curves. Note that it is a special case of the moduli stack of algebraic curves . In particular its points with values in some field correspond to elliptic curves over the field, and more generally morphisms from a scheme to it correspond to elliptic curves over . The construction of this space spans over a century because of the various generalizations of elliptic curves as the field has developed.
Cryptographie sur les courbes elliptiquesLa cryptographie sur les courbes elliptiques (en anglais, elliptic curve cryptography ou ECC) regroupe un ensemble de techniques cryptographiques qui utilisent une ou plusieurs propriétés des courbes elliptiques, ou plus généralement d'une variété abélienne. L'usage des courbes elliptiques en cryptographie a été suggéré, de manière indépendante, par Neal Koblitz et Victor S. Miller en 1985.
Cyclotomic characterIn number theory, a cyclotomic character is a character of a Galois group giving the Galois action on a group of roots of unity. As a one-dimensional representation over a ring R, its representation space is generally denoted by R(1) (that is, it is a representation χ : G → AutR(R(1)) ≈ GL(1, R)). Fix p a prime, and let GQ denote the absolute Galois group of the rational numbers. The roots of unity form a cyclic group of order , generated by any choice of a primitive pnth root of unity ζn.
Entier quadratiqueEn mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale : elle correspond à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients seulement rationnels. Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques.
Théorie d'IwasawaLa théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps des rationnels) à des extensions infinies de , par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies. Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les -extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini , pour un nombre premier fixé.
Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginairesEn mathématiques, le problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires, au sens usuel, est de fournir pour chaque entier n ≥ 1, la liste complète des corps quadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers a un nombre de classes égal à n. C'est une question de calcul effectif. La première démonstration (Hans Heilbronn, 1934) qu'une telle liste est finie ne fournissait pas, même en théorie, un moyen de la calculer (voir Résultats effectifs en théorie des nombres).
Unité imaginaireEn mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté (parfois en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique), dont le carré vaut –1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs. L'appellation d'« imaginaire » est due à René Descartes et celle d'« unité imaginaire » à Carl Friedrich Gauss. Sans avoir disparu, cette appellation n'est pas d'un usage très généralisé chez les mathématiciens, qui se contentent souvent de parler du nombre i.
