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Concept
Entier quadratique
Résumé
En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale : elle correspond à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients seulement rationnels.
Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques. Si α est un entier quadratique, l'ensemble Z[α] des nombres de la forme a + bα, où a et b désignent deux entiers relatifs, est un sous-anneau du corps C des nombres complexes (c'est-à-dire qu'il est stable par addition, soustraction et multiplication et qu'il contient 1). Si β est un nombre algébrique de degré 2, l'ensemble des nombres de la forme a + bβ, où a et b désignent deux rationnels, est toujours un anneau unitaire et même un corps (tout élément non nul est inversible), appelé corps quadratique et noté Q(β).
Un nombre quadratique, entier ou seulement algébrique, est ainsi avant tout un élément d'un ensemble, structuré par deux opérations. Cette approche est au cœur de la théorie algébrique des nombres. Au lieu d'étudier un nombre particulier, comme le nombre d'or, l'analyse de la structure d'anneau associé, ici celui des entiers du corps Q() est plus fructueuse. Cette démarche est ancienne, dès le les mathématiciens indiens avaient déjà découvert une multiplication sur un ensemble de cette nature, qui permet de résoudre certains cas particuliers de l'équation de Pell-Fermat. Au , Gauss préfigure la démarche moderne et fixe le vocabulaire avec l'étude des entiers portant maintenant son nom. Il découvre que cet anneau est euclidien, permettant de développer une arithmétique analogue à celle des entiers relatifs, avec sa version du théorème fondamental de l'arithmétique et ses nombres premiers.
Ces structures sont parfois sujettes à des difficultés, qualifiées d'obstructions. L'une concerne les éléments inversibles qui sont parfois en nombre infini. Une deuxième obstruction existe si l'anneau n'est par exemple pas euclidien ni même principal.
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