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Corps commutatif

Corps commutatif — Wikipédia
Corps commutatif — Wikipédia

vignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication. Selon la définition choisie d'un corps qui diffère selon les auteurs (la commutativité de la multiplication n'est pas toujours imposée), soit les corps commutatifs sont des cas particuliers de corps (dans le cas où la commutativité n'est pas imposée), soit la dénomination corps commutatif est un pléonasme qui désigne simplement un corps (dans le cas où elle l'est). On renvoie à l'article corps (mathématiques) pour plus de détails. Des exemples élémentaires de corps commutatifs sont le corps des nombres rationnels noté Q (ou Q), le corps des nombres réels noté R (ou R), le corps des nombres complexes noté C (ou C) et le corps Z/pZ des classes de congruences modulo p où p est un nombre premier, noté alors également Fp (ou Fp). La théorie des corps commutatifs est le cadre historique de la théorie de Galois, une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps commutatifs et aux extensions de corps, en relation avec la théorie des groupes, mais s'étend aussi à d'autres domaines, par exemple l'étude des équations différentielles (théorie de Galois différentielle), ou des revêtements. La théorie des corps (commutatifs) se développe tout au long du , en parallèle et de façon intimement liée avec la théorie des groupes, la théorie des anneaux et l'algèbre linéaire. Jusqu'à cette époque, l'algèbre s'identifie à la théorie des équations polynomiales et de leur résolution. C'est dans ce contexte qu'apparaissent les premières notions de théorie des corps, avec les travaux de Niels Abel et ceux d'Évariste Galois, même si la structure n'est pas identifiée explicitement.

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Corps algébriquement clos
En mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.
Nombre algébrique
Un nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps des rationnels (autrement dit racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels). Les nombres entiers et rationnels sont algébriques, ainsi que toutes les racines de ces nombres. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques, comme π et e (théorème de Lindemann-Weierstrass), sont dits transcendants. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois.
Automorphisme
Un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe. La définition abstraite d'un automorphisme est la suivante : c'est un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme. Autrement dit, c'est un morphisme d'un objet X d'une catégorie donnée dans lui-même, qui est également un isomorphisme.
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