Groupe général linéaire

En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski. Dans les cas particuliers K = R ou K = C, il s’agit même d’un ouvert dense de . GL(n, K) et ses sous-groupes sont souvent appelés « groupes linéaires » ou « groupes matriciels ». En particulier, le groupe spécial linéaire, noté SL(n, K) et constitué des matrices de déterminant 1, forme un sous-groupe normal de GL(n, K). Ces groupes sont importants dans la théorie des représentations de groupes et apparaissent lors de l’étude des symétries et des polynômes. Pour tout anneau commutatif unifère R, GL(n, R) est un groupe pour la multiplication des matrices : c'est le groupe des unités de l'anneau des matrices n × n à coefficients dans R. Si n ≥ 2, GL(n, R) n’est pas abélien (sauf bien sûr si R est nul). Pour tout corps commutatif K, GL(n, K) est engendré par les matrices élémentaires de transvections et de dilatations (car les transvections engendrent le groupe spécial linéaire). Si E est un espace vectoriel sur le corps K, on appelle groupe général linéaire de E et on note GL(E) ou Aut(E), le groupe des automorphismes de E muni de la composition des applications. Si E est de dimension n, alors GL(E) et GL(n, K) sont isomorphes. Cet isomorphisme n’est pas canonique : il dépend du choix d’une base de E. Une fois cette base choisie, tout automorphisme de E peut être représenté par une matrice n × n inversible qui détermine l’isomorphisme. Si le corps K est R (les nombres réels) ou C (les nombres complexes), alors GL(n, K) est un groupe de Lie réel ou complexe de dimension n2. En effet, GL(n) est constitué des matrices de déterminant non nul.