En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres. Cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue. différence finie Une discrétisation des opérateurs différentiels (dérivées premières, secondes, etc., partielles ou non) peut être obtenue par les formules de Taylor. La formulation de Taylor-Young est préférable dans son utilisation simple, la formulation de Taylor avec reste intégral de Laplace permet de mesurer les erreurs (cf. plus bas). Si u est définie sur un voisinage d'un point x et trois fois dérivable en x, la formule de Taylor-Young conduit aux deux relations : où les deux fonctions ε(h) convergent vers 0 avec h. Par conséquent correspondent à deux approximations de u(x) du en h. La variable scalaire h est appelée pas du schéma aux différences. En soustrayant les développements précédents, ce qui revient à faire la moyenne des deux différences finies antérieure et postérieure à u(x), on obtient qui est une approximation de u(x) du en h. Décentrage aval Si u est définie sur un voisinage à droite d'un point x et trois fois dérivable en x, la formule de Taylor-Young conduit à la relation : où la fonction ε(h) converge vers 0 avec h. Par conséquent correspond à une approximation de u(x) du en h. En répétant l'opération pour un décentrage aval, en écrivant que : d'où qui est une approximation de u'(x) du en h. En étendant la taille du stencil, il est possible de déterminer des différences finies d'ordres supérieurs par des méthodes similaires (augmentation de l’ordre dans la formule de Taylor et détermination d'une combinaison linéaire adaptée pour annuler les termes superflus).

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Concepts associés (12)
Numerical methods for partial differential equations
Numerical methods for partial differential equations is the branch of numerical analysis that studies the numerical solution of partial differential equations (PDEs). In principle, specialized methods for hyperbolic, parabolic or elliptic partial differential equations exist. Finite difference method In this method, functions are represented by their values at certain grid points and derivatives are approximated through differences in these values.
Méthode des éléments finis
En analyse numérique, la méthode des éléments finis (MEF, ou FEM pour finite element method en anglais) est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques).
Différence finie
En mathématiques, et plus précisément en analyse, une différence finie est une expression de la forme f(x + b) − f(x + a) (où f est une fonction numérique) ; la même expression divisée par b − a s'appelle un taux d'accroissement (ou taux de variation), et il est possible, plus généralement, de définir de même des différences divisées. L'approximation des dérivées par des différences finies joue un rôle central dans les méthodes des différences finies utilisées pour la résolution numérique des équations différentielles, tout particulièrement pour les problèmes de conditions aux limites.
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